Модуль 1. Принцип динамического расширения — сжатия фазового пространства в теории управления

1.3. Инвариантные соотношения в механике и метод АКАР

В методе АКАР законы управления (1.2) переводят ИТ синтезируемой системы сначала в окрестности некоторых многообразий $\psi=0$ (1.3) в фазовом пространстве системы (1.1). Оказывается, что поставленная здесь нелинейная проблема АКАР имеет глубокую связь с теорией инвариантных соотношений в аналитической механике [1]. Поэтому возникает насущная необходимость рассмотреть здесь элементы теории АКАР не с позиций минимизации некоторого выбранного оптимизирующего функционала, а с использованием свойств инвариантных многообразий. Тем самым попытаемся проложить путь для перехода от формально-математического подхода, используемого, например, в стандартной теории АКОР, к исследованию и включению в состав метода АКАР естественно-геометрического содержания задач управления и, следовательно, к изучению связи этих задач с фундаментальными принципами (законами) сохранения классического естествознания и базовыми понятиями современной синергетики — науки о самоорганизации в нелинейных динамических системах.

Для этого сначала рассмотрим скалярный случай и предположим, что управление $u(x_1,\dots,x_n)$ (1.2) уже выбрано и тогда дифференциальные уравнения замкнутой системы примут вид

$$ \dot x_i(t)=\mathrm R_i(x_1,\dots,x_n), \quad i=\overline{1,n},\qquad(1.4)$$ где $\mathrm R_k=\mathrm f_k(x_1,\dots,x_n)$, $k=\overline{1,n-1}$, $\mathrm R_n=\mathrm f_n(x_1,\dots,x_n)+u(x_1,\dots,x_n)$.

В аналитической механике [1] конечное соотношение между переменными $x_1,\dots,x_n$, т.е. $\psi(x_1,\dots,x_n)$ называют инвариантным по отношению к исходным дифференциальным уравнениям (1.4), если все их решения удовлетворяют равенству $\psi=0$ при любом значении переменной $t$. Многообразие $\psi=0$ отражает некоторое свойство, характерное только для тех решений системы (1.4), начальные условия которых подчиняются соотношению $\psi=0$. Инвариантное многообразие $\psi=0$ называют также частным интегралом. Оно описывает в фазовом пространстве некоторую гиперповерхность размерности $n-1$, образованную интегральными кривыми системы (1.4).

Инвариантным соотношением является также всякий первый интеграл $\psi=const$, в котором произвольной постоянной задано некоторое частное значение, поэтому инвариантное соотношение $\psi=0$ называется также частным интегралом. Всякое инвариантное соотношение $\psi=0$, согласно самому определению, образует в пространстве координат системы (1.4) отдельную гиперповерхность, в то же время первый интеграл $\psi=const$ определяет множество гиперповерхностей, заполняющих пространство в том смысле, что одна и только одна из этих гиперповерхностей проходит через каждую точку. Это связано с тем, что постоянная в правой части $\psi=const$ для всякого отдельного решения системы (1.4) должна иметь подходящее значение, а именно: если $x_{10},\dots,x_{n0}$ являются соответствующими начальными значениями координат $x_1,\dots,x_n$, то эта постоянная должна быть положена равной $\psi(x_{10},\dots,x_{n0})$. Другими словами, гиперповерхности $\psi=const$ таковы, что на каждой из них лежит целиком однозначно определенная траектория движения, проходящая через какую-нибудь ее точку. В литературе иногда интегралом системы (1.4) называют также и саму функцию $\psi(x_1,\dots,x_n)$, однако такую функцию точнее назвать инвариантом в том смысле, что в фазовом пространстве функция $\psi(x_1,\dots,x_n)$ сохраняет постоянное значение вдоль всякой траектории движения [1]. Физическими примерами первых интегралов механической системы, описываемой уравнениями Лагранжа второго рода, являются обобщенный интеграл энергии и циклические интегралы. В частности, для скалярных консервативных систем обобщенный интеграл представляет собой обычный интеграл, отражающий закон сохранения общей механической энергии системы. В случае же, когда некоторая обобщенная координата не входит явно в выражение для функции Лагранжа, но эта функция содержит явно соответствующую производную по времени от указанной координаты, то обобщенный интеграл будет отражать закон сохранения количества движения механической системы [11].

Укажем теперь математические условия, характеризующие уравнение $\psi=0$ как инвариантное многообразие [1]: для того, чтобы это многообразие было инвариантным, необходимо и достаточно, чтобы функция $\psi(x_1,\dots,x_n)$ оставалась равной нулю при изменении $t$ для всех тех уравнений (1.4), начальные условия которых обращают эту функцию в нуль. Это утверждение эквивалентно тому, чтобы для всех указанных решений полная производная от $\psi$ по $t$
$$
\frac{d\psi}{dt}=\sum\limits_{i=1}^n{\frac{\partial\psi(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_i}\dot x_i},
$$ взятая в силу уравнений (1.4)
$$
\frac{d\psi}{dt}=\sum\limits_{i=1}^n{\frac{\partial\psi(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_i}\mathrm R_i(x_1,\dots,x_n)},\qquad
(1.5)$$должна быть тождественно равна нулю. Можно вообще доказать [1], что для этого необходимо и достаточно, чтобы функция $\psi(x_1,\dots,x_n)$ от $n$ независимых переменных $x_1,\dots,x_n$ удовлетворяла линейному дифференциальному уравнению в частных производных следующего вида:
$$
\dot \psi(t)=\omega\psi,\qquad
(1.6)$$где $\dot \psi(t)$ определяется выражением (1.5), а $\omega$ есть некоторая гладкая функция от $x_1,\dots,x_n$ в рассматриваемой области. Подставив $\dot \psi(t)$ из (1.5) в (1.6), получаем
$$
\sum\limits_{i=1}^n{\frac{\partial\psi(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_i}\mathrm R_i(x_1,\dots,x_n)}=\omega(x_1,\dots,x_n)\psi(x_1,\dots,x_n).\qquad
(1.7)$$Уравнение (1.7) называется характеристическим и является тем условием, которому необходимо и достаточно удовлетворить, чтобы соотношение (1.3) было инвариантным многообразием системы (1.4). Полученное характеристическое уравнение (1.7) можно обобщить путем введения более широких классов функций в его правой части [12, 13]. Уравнение (1.7) получено приравниванием полной производной по $t$ заданного частного интеграла $\psi=0$ линейной функции $\omega\psi$. В общем случае указанную производную можно приравнять некоторой произвольной функции $\Phi(\psi,x_1,\dots,x_n)$, обращающейся в нуль на заданном интегральном многообразии, т.е.
$$
\frac{d\psi}{dt}=\sum\limits_{i=1}^n{\frac{\partial\psi(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_i}\mathrm R_i(x_1,\dots,x_n)}=\Phi(\psi,x_1,\dots,x_n),\qquad
(1.8)$$где $\Phi(0,x_1,\dots,x_n)=0$. Уравнение (1.8) является обобщенным необходимым и достаточным условием осуществимости движения системы (1.4) с заданным многообразием $\psi=0$ в ее фазовом пространстве.

Изложенная здесь процедура поиска инвариантного многообразия с помощью уравнений (1.7) или (1.8) допускает очевидное обобщение на несколько функций. Теперь предположим, что объект имеет $m$ каналов управления:
$$
\dot x(t)=\mathrm f(x_1,\dots,x_n) + u_j(x_1,\dots,x_n), \quad i=\overline{1,n}, \quad j=\overline{1,m},\quad m<n,\qquad
(1.9)$$и управления $u_j$ уже выбраны из каких-либо соображений, т.е. система (1.9) принимает вид
$$
\dot x_i(t)=\mathrm R_i(x_1,\dots,x_n),\qquad
(1.10)$$где $\mathrm R_k=\mathrm f_k + u_k$, $k=\overline{1,m}$; $\mathrm R_{m+1}=\mathrm f_{m+1}$, $\mathrm R_n=\mathrm f_n$. Предположим, что желаемые свойства движения системы управления (1.9), т.е. программа ее движения, заданы некоторой совокупностью многообразий
$$
\psi_s(x_1,\dots,x_n)=0,\quad s=1,2,\dots m<n.\qquad
(1.11)$$Система (1.11) из $m$ конечных соотношений между координатами $x_1,\dots,x_n$ называется инвариантной относительно системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1.10), если она будет удовлетворяться при произвольном значении всяким решением уравнений (1.10) при начальных условиях, принадлежащих многообразиям (1.11). Считаем, что уравнения (1.11) совместны и независимы, для чего необходимо и достаточно [1] , чтобы paнг якобиевой матрицы от $\psi_s$ по $x_i$ был равен $m$, т.е.
$$
\mathrm{rang}\mathbf D=\mathrm{rang}
\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial\psi_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial\psi_2}{\partial x_1} & \dots & \dfrac{\partial\psi_m}{\partial x_1}\\
\dfrac{\partial\psi_1}{\partial x_2} & \dfrac{\partial\psi_2}{\partial x_2} & \dots & \dfrac{\partial\psi_m}{\partial x_2}\\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial\psi_1}{\partial x_m} & \dfrac{\partial\psi_2}{\partial x_m} & \dots & \dfrac{\partial\psi_m}{\partial x_m}
\end{vmatrix}=m.\qquad
(1.12)$$С учетом условий (1.12) уравнения (1.11) определяют в фазовом пространстве координат $x_1,\dots,x_n$ некоторое $n-m$-мерное многообразие пересечений, образованное интегральными кривыми (фазовыми траекториями) системы (1.10), из которых только одна проходит через данную точку указанного многообразия. В окрестности этого многообразия функции $\psi_s$ непрерывны вместе с производными
$$
\frac{\partial\psi_s}{\partial x_1},\frac{\partial\psi_s}{\partial x_2},\dots,\frac{\partial\psi_s}{\partial x_n},\quad s=1,2,\dots,m,
$$
т.е. $$
\lim_{x_i\to a_i}\psi_s(x_1,\dots,x_n)=\psi_s(a_1,\dots,a_n).\qquad
(1.13)$$Тогда, учитывая (1.13) и считая уравнения (1.11) независимыми, можно аналогично ранее изложенному сформулировать следующие условия инвариантности системы (1.11): для того, чтобы соотношения (1.11) были системой инвариантных многообразий относительно уравнений (1.10), необходимо и достаточно, чтобы функции $\psi_s(x_1,\dots,x_n)$ удовлетворяли системе дифференциальных уравнений в частных производных [1]:
$$
\begin{split}
\frac{d\psi_s}{dt}&=\sum\limits_{i=1}^n{\frac{\partial\psi_s(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_i}\mathrm R_i(x_1,\dots,x_n)}=\sum\limits_{k=1}^m\omega_{sk}\psi_s,\\
s&=1,2,\dots,m<n.
\end{split}\qquad
(1.14)$$Система уравнений (1.14) получена путем подстановки в выражения для полных производных от $\psi_s(x_1,\dots,x_n)$ по $t$ значений $\dot x_i(t)$ из правых частей уравнений (1.10). Знание $m$ независимых инвариантных многообразий (1.11) равносильно знанию $m$ независимых между собой интегралов системы дифференциальных уравнений (1.10), а это позволяет понизить порядок этой системы до $n-m$. Способ такого понижения порядка состоит в том, что из соотношений (1.11) находятся выражения для $m$ неизвестных, например для $x_1,x_2,\dots,x_m$, в функциях от остальных переменных $x_{m+1},\dots,x_n$. Подставляя координаты $x_1,x_2,\dots,x_m$ в остальные $n-m$ уравнения (1.10), получаем приведенную систему дифференциальных уравнений $n-m$-го порядка:
$$
\dot x_{m+\mu}(t)=\mathrm R_{m+\mu}^{*}(x_{m+1},\dots,x_n), \quad \mu=1,2,\dots,n-m,\qquad
(1.15)$$ где функции $\mathrm R_{m+\mu}^{*}$ находятся из исходных функций $\mathrm R_i(x_1,\dots,x_m)$ (1.10) в результате указанной подстановки и зависят только от переменных $x_{m+1},\dots,x_n$. Интегрирование приведенной системы (1.15) дает уже не общий интеграл исходной системы (1.10),а только некоторый класс решений $x_{m+\mu}(t)$, и именно тех решений, которые удовлетворяют инвариантным многообразиям (1.11) [1]. Это важное в прикладном плане свойство решений приведенной системы (1.15) по отношению к решениям исходной системы (1.10), т.к. в методе АКАР многообразия (1.11) не отыскиваются, а задаются, “навязываются” синтезируемой системе. Другими словами, указанное свойство определяет достаточные условия существования желаемых многообразий (1.11) в фазовом пространстве замкнутых систем.

Заметим также, что в приведенной системе (1.15) не осталось никакого следа от $m$ координат $x_1,x_2,\dots,x_m$, т.е. при определении $x_{m+\mu}$ $\mu=1,2,\dots,n$ можно не знать (игнорировать) остальные координаты $x_1,x_2,\dots,x_m$, входившие в исходную постановку задачи управления. Именно поэтому в аналитической механике [1] такой прием получил название метода игнорирования координат. Эта особенность приведенной системы (1.15) будет использована при дальнейшей разработке метода АКАР для разных классов нелинейных динамических объектов.

Уравнения (1.15) получены приравниванием полных производных по $t$ заданных частных интегралов (1.11) линейным функциям $\omega_{sk}\psi_s$. В общем случае указанные производные можно также приравнять некоторым произвольным функциям $\Phi_s(\psi_1,\dots,\psi_m,x_1,\dots,x_m)$, обращающимися в нуль на заданных интегральных многообразиях (1.11). Тогда обобщенные необходимые условия осуществимости движений системы (1.10) с заданными свойствами (1.11) можно записать в следующем виде:
$$
\begin{split}
\frac{d\psi_s}{dt}&=\sum\limits_{i=1}^n{\frac{\partial\psi_s(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_i}\mathrm R_i(x_1,\dots,x_n)}=\\
&=\Phi_s(\psi_1,\dots,\psi_m,x_1,\dots,x_m),
\end{split}\qquad
(1.16)$$ где $\Phi_s(\psi_1,\dots,\psi_m,x_1,\dots,x_m)$ — произвольные функции, обращающиеся в нуль на инвариантных многообразиях (1.11), т.е. $\Phi_s(0,x_1,\dots,x_m)$.

Уравнения (1.16), доставляющие необходимые и достаточные условия того, чтобы заданные соотношения (1.11) были инвариантными многообразиями системы (1.10), получены на основе известных классических результатов динамики механических (неуправляемых) систем. Метод инвариантных соотношений используется в механике как математический прием понижения порядка исходных систем канонических уравнений, чтобы найти наибольшее число преобразований, допускаемых частным видом таких систем по сравнению с системами общего вида, а также для выявления некоторого класса частных решений, имеющих прямое истолкование механической природы движения [1].

В задаче же АКАР требуется найти управление объектом (1.9), чтобы полученная при этом замкнутая система (1.10) с функциями $\mathrm R_i(x_1,\dots,x_n)$ в правых частях уравнений имела заданные интегральные многообразия (1.11). Это означает, что управления $u_j$ переводят ИТ системы из произвольной области фазового пространства координат $x_1,\dots,x_n$ на многообразия (1.11), точнее на пересечение этих многообразий. В дальнейшем должно быть организовано движение вдоль указанного пересечения к началу координат фазового пространства. Полученные уравнения (1.16) не позволяют в явном виде найти управления $u_j$. Однако, если вернуться к исходной системе дифференциальных уравнений объекта (1.9) с несколькими управлениями, то на основе (1.16) можно получить $m$ уравнений, из которых и найти указанные управления.

Остановимся теперь кратко на вопросе об устойчивости синтезируемых систем. Если в начальный момент времени ИТ системы находится на заданном пересечении интегральных многообразий (1.11), то она должна, вообще говоря, и далее двигаться вдоль указанного пересечения. Однако в реальных условиях на систему действуют различные возмущения, которые “сталкивают” ИТ с желаемого многообразия. Это и приводит к задаче об устойчивости интегральных многообразий (1.11) при начальных отклонениях функций $\psi_s$ от нуля, т.е.
$$
\psi_{s0}=(x_{10},\dots,x_{no})\neq0,\quad s=1,2,\dots,m\le n.\qquad
(1.17)$$

Решение этой задачи устойчивости сводится к следующей процедуре. Программное движение, задаваемое, в частности, соотношениями (1.11), примем за невозмущенное движение. Тогда любые возможные движения системы (1.16), начавшиеся с состояния (1.17) со скоростями $\dot\psi_s(t)=\Phi_s$, отличными от программных, будут представлять собой возмущенные движения системы [12], т.е. уравнения (1.16) могут быть приняты за уравнения возмущенного движения. Очевидно, что для получения условий асимптотической устойчивости программного движения следует функции $\Phi_s(\psi_1,\dots,\psi_m,x_1,\dots,x_m)$ в (1.16) выбирать так, чтобы нулевые решения $\psi_1=0,\dots,\psi_m=0$ дифференциальных уравнений (1.16) были асимптотически устойчивыми. Такие условия можно нетрудно получить на основе соответствующих функций Ляпунова. Выявление условий устойчивости упрощается, если функции $\Phi_s$ выбираются зависимыми лишь от переменных $\psi_1,\dots,\psi_m$. При этом условия устойчивости будут зависеть лишь от функций $\Phi_s(\psi_1,\dots,\psi_m)$. Указанная устойчивость уравнений (1.16) относительно тривиальных решений означает, что инвариантные многообразия (1.11) будут представлять собой притягивающие инвариантные гиперповерхности, к которым притягивается ИТ замкнутой системы из произвольной области фазового пространства координат.

Во многих задачах управления конечная цель управления состоит в попадании ИТ в начало координат $x_{1k}=0,\dots,x_{nk}=0$. Следовательно, возникает вторая задача об асимптотической устойчивости движения вдоль пересечения многообразий (1.11) к началу координат фазового пространства. Очевидно, что определение условий устойчивости на этом этапе движения непосредственно связано с устойчивостью решений приведенных дифференциальных уравнений (1.15), описывающих движение ИТ вдоль пересечения многообразий (1.11). Порядок уравнений (1.16), в отличие от исходной системы (1.10), равен $n-m$, что существенно упрощает получение искомых условий асимптотической устойчивости этих уравнений, а следовательно, и замкнутой нелинейной системы.

Подведем некоторые итоги. Выше изложены математические особенности применения инвариантных многообразий для отражения требуемых свойств движения нелинейных систем, приведены необходимые и достаточные условия того, чтобы задаваемые соотношения (1.11) были инвариантными многообразиями замкнутой системы. Эти многообразия и представляют собой некоторую заданную программу движения. Полученные необходимые и достаточные условия позволяют доказать, что выбранные соотношения (1.11) являются инвариантными многообразиями. Затем могут быть синтезированы управления $u_j$, которые гарантируют существование таких многообразий для замкнутой системы. Эту задачу АКАР можно также эффективно решить с привлечением некоторых сопровождающих функционалов, отражающих соответствующие инженерные требования к переходным процессам.

Изложенное здесь указывает на очевидное родство результатов, основанных на непосредственном применении теории инвариантных многообразий в механике и теории АКАР. Однако имеются и существенные отличия — в задачах АКАР указанные многообразия не отыскиваются, а заранее задаются, исходя из требований к качественным свойствам синтезируемых систем управления.

Выявленное выше определенное родство между теорией АКАР и теорией инвариантных соотношений в аналитической механике [1] указывает на естественный характер базовых понятий, положенных в основу развиваемой здесь теории АКАР. Этим понятиям можно дать более конкретную механическую интерпретацию.

Механическая система состоит из совокупности материальных точек, движение каждой из которых в отдельности зависит от движения и положения остальных точек, т.е. между точками системы всегда существуют некоторые силы взаимодействия. Указанные взаимодействия точек могут быть обусловлены силами, влияющими на ускорение; связями, стесняющими положения и скорости точек, а также внешними силами от воздействия других объектов, не входящих в рассматриваемую систему [14]. Если материальные точки, составляющие систему, не могут занять в пространстве произвольного положения и иметь любую скорость, то это означает, что на систему наложены ограничения, называемые в механике связями. Эти связи, вводящие ограничения на изменения координат и скоростей точек, аналитически записываются в виде некоторых уравнений $\psi=0$ или неравенств [15]. Конкретно уравнения связей отражают, в частности, способ соединения отдельных элементов, образующих в своей совокупности механическую систему. Так, например, для манипуляционного робота уравнения связей описывают способ соединения между собой его звеньев, что и определяет структуру манипулятора. В результате такого наложения связей число степеней свободы робота будет меньшим по сравнению с общим числом степеней свободы его базовых элементов. Аналогично можно дать конкретную интерпретацию связей для любого механического объекта.

В аналитической механике [1, 14, 15] известен принцип освобождения от связей. В физическом плане этот принцип утверждает, что ограничения, вводимые связями на систему, представляют собой дополнительные силы, называемые реакциями связей, действие которых эквивалентно действию связей. Другими словами, реакция связи есть сила, которая, будучи приложенной к материальной точке вместо связи, сохраняет неизменным закон движения точки. При действии других (активных) сил на систему реакция связи должна быть такой, чтобы левая часть уравнения связи $\psi=0$ была инвариантом (первым или частным интегралом) динамических уравнений механической системы, так как вдоль действительной траектории движения указанная связь должна всегда тождественно удовлетворяться. Отсюда непосредственно следует идентичность между понятиями “связь” и “инвариантные соотношения” в аналитической механике и инвариантными многообразиями в методе АКАР. В механике связь в виде уравнения
$$
\psi(x_1,\dots,x_n,\dot x_1,\dots,\dot x_n,t)=0,
$$
содержащего координаты, их производные и время $t$, называют дифференциальной, или кинематической, удерживающей связью. Если уравнение $\psi=0$ явно содержит время $t$, то такая связь называется еще реономной, или нестационарной. Связь, накладывающая ограничения лишь на координаты точек системы, т.е. когда уравнение $\psi(x_1,\dots,x_n,t)=0$ не содержит скоростей, в механике называется голономной, или геометрической. Если уравнение дифференциальной (кинематической) связи, содержащей производные от координат $\dot x_1(t),\dots,\dot x_n(t)$, нельзя путем интегрирования привести к виду $\psi(x_1,\dots,x_n,t)=0$, в котором отсутствуют производные, то эта связь называется неголономной, или неинтегрируемой. Голономная связь называется склерономной, или стационарной, в том случае, если ее уравнение не содержит явно времени $t$, т.е. имеет вид $\psi(x_1,\dots,x_n)=0$. В дальнейшем в методе АКАР, кроме задач терминального управления, будут использоваться в основном стационарные инвариантные многообразия, что в терминах аналитической механики означает введение голономных склерономных связей, накладываемых на дифференциальные уравнения (1.4), описывающие поведение замкнутой системы “объект — регулятор”.

Аналогичную интерпретацию можно дать и соотношениям (1.11), если предположить, что механическая система состоит из материальных точек [16]. В общем случае эти точки могут перемещаться в пространстве координат без всяких ограничений и тогда для определения их мгновенного положения потребуется задать $3n$ координат (по три координаты на каждую точку). Это означает, что механическая система обладает $3n$ степенями свободы. Однако в зависимости от назначения этой системы на перемещение ее точек могут накладываться различные конструктивные и технологические ограничения, например точки должны находиться на некоторой заданной поверхности. В этом случае указанные $s$ ограничения будут представлять собой дополнительные условия — связи, которым должно удовлетворять положение материальных точек. Теперь уже для однозначного определения их положения достаточно знать не $3n$, а меньшее число $(r)$ координат. Остальные $s=3n-r$ координат могут быть вычислены из уравнений связи $\psi_s=0$. При этом вовсе не обязательно в качестве независимых брать исходные (декартовы) координаты. Для этого можно использовать любые $r$ переменных $q_1,\dots,q_r$, задание которых однозначно определяет положение материальных точек. Такого рода переменные получили в механике название обобщенных координат. Важно то, что во всех случаях число независимых обобщенных координат $r$ остается одним и тем же. Это число называется числом степеней свободы механической системы.

Понятие связи является базовым в аналитической механике. Связи оказывают на материальные точки механической системы пассивные воздействия, т.к. реакции связей — это пассивные силы. Они влияют как на положение равновесия в статике, запрещая точкам смещаться в одних направлениях и не препятствуя смещению в других, так и на характер движения в динамике, заставляя его характеристики удовлетворять уравнениям связи в каждый момент времени. Основная задача статики, как известно [14, 15], состоит в формулировке условий, обеспечивающих равновесие системы материальных точек, а также в определении всех возможных положений равновесия. Эти условия следуют из уравнений виртуальных перемещений, которые составляются на основе связей, наложенных на механическую систему. При этом существенным является понятие множества виртуальных перемещений точек, соответствующих наложенным связям. Положение равновесия системы означает отсутствие ускорений и скоростей всех ее материальных точек в каждый момент времени. Принцип виртуальных перемещений относится к весьма общим методам решения задач статики, он позволяет наиболее просто и экономно сформулировать условия равновесия систем материальных точек на основе геометрических свойств связей и учета активных сил без введения неизвестных реакций связей. Связи, точнее реакции связей, также непосредственно входят и в уравнения динамики механических систем. Так, основополагающий принцип динамики — принцип Даламбера гласит: если к каждой точке системы в некотором ее положении приложить имеющиеся активные силы, реакцию связей и силу инерции, то это положение будет положением равновесия системы. Итак, понятие связи непосредственно входит в основополагающие принципы аналитической механики: принцип виртуальных перемещений в статике и принцип Даламбера в динамике. Это указывает на тот важный факт, что понятие связи и учение о связях играют фундаментальную роль в аналитической механике.

Изложенные здесь соображения выявили идентичность и родство между связями в механике и инвариантными многообразиями $\psi_s=0$, $s=1,2,\dots,m$ в методе АКАР. Однако между этими понятиями имеются и определенные различия. Дело в том, что в отличие от обычных двусторонних связей (геометрических и кинематических), инвариантные многообразия $\psi_s=0$ реализуются с помощью так называемых сервомоторных сил [1], которые совершают не равную нулю работу при любых виртуальных перемещениях, совместимых со связями механической системы. Осуществляемые указанным образом связи в отличие от обычных связей механики названы в [1] динамическими. Сервомоторные силы, реализующие динамические связи, в задаче о движении механической системы представляют собой некоторые прямо приложенные силы. Тогда эту систему можно рассматривать как подчиненную только обычным связям (геометрическим и кинематическим, в том числе и неголономным) и движущуюся под действием всех активных и сервомоторных сил. Природа динамических связей в методе АКАР определяется задаваемыми многообразиями $\psi_s=0$, $s=1,2,\dots,m$, где $s$ — число независимых соотношений между координатами $x_i$ системы. Очевидно, что если на механическую систему действуют только сервомоторные силы, то для полного определения ее движения достаточно к $n-s$ лагранжевым уравнениям присоединить $s$ уравнений $\psi_s=0$ динамических связей. Реализация динамических связей в методе АКАР производится с помощью соответствующих законов управления. Итак, вводимые в методе АКАР инвариантные многообразия $\psi_s=0$ аналогичны обычным связям в механике, но в отличие от них имеют динамическую реализацию и могут изменяться в зависимости от желаемых динамических свойств синтезируемой системы управления.

В терминах синергетики обычные и динамические связи могут быть интерпретированы как способы введения соответственно “жестких” и “гибких” синергий. Существенное отличие этих синергий друг от друга состоит в том, что “гибкие синергии” образуют некоторую информационную модель, т.е. своеобразный “временный творческий коллектив” [17], который формируется законом управления для решения требуемой целевой задачи. И после решения указанной задачи этот “коллектив” может быть распущен и сформирован новый для реализации другой программы движения. Указанное динамическое осуществление инвариантных многообразий $\psi_s=0$ является важной и привлекательной особенностью метода АКАР с точки зрения основной задачи теории управления — синтеза эффективных систем. В распоряжении конструктора системы управления обычно имеется математическая модель объекта, однако модель — это не воплощенная в реальность жесткая, например механическая, конструкция, а некоторое адекватное информационное отражение объекта, в которое можно нежестко “ввести” различные внутренние динамические связи. Эти связи реализуются не с помощью неизменных, например механических, звеньев (твердых тел, соединенных шарнирами, и т.д.), а в виде информационных сигналов управления. Тем самым, условно говоря, “конструируется” фактически новый электро-механико-информационный объект в виде замкнутой системы “исходный объект — регулятор”. Новый объект обладает, по сравнению с иcxoдным, расширенными показателями и характеристиками. Синтезируя должным образом соответствующие динамические регуляторы, т.е. вводя динамические связи, можно придать замкнутой системе (новому объекту) желаемые свойства с точки зрения решаемой ею технологической задачи управления. Следовательно, в механической интерпретации метод АКАР может быть представлен как своеобразный способ конструирования новых объектов с заданными динамическими свойствами их движения.

С учетом того обстоятельства, что механические системы входят в состав большинства распространенных в технике и промышленности подвижных и технологических объектов, выявленное здесь родство между инвариантными многообразиями $\psi_s=0$ в методе АКАР и такими базовыми понятиями механики, как “инвариантные соотношения” и “связи” [1, 14 ,16], представляет собой весьма важную конкретную интерпретацию, отражающую механическую аналогию в теории АКАР.

Динамическая парадигма механики сыграла и продолжает играть выдающуюся роль в развитии естествознания, на ее основе были построены классическая оптика, электромеханика и многие другие науки, т.е. в зависимости от конкретной природы управляемого объекта в методе АКАР можно также выявить оптическую, электромеханическую и т.п. аналогии. В этом смысле установленная здесь определенная аналогия между базовыми понятиями метода АКАР и методов аналитической механики дает основание подчеркнуть обобщающий характер и перспективность развиваемого в теории АКАР подхода к синтезу нелинейных систем управления. Разумеется, что указанная аналогия затрагивает лишь небольшую часть всего того возможного богатства других физических, химических и биологических иллюстраций, которое, очевидно, содержится в конкретных применениях метода АКАР к задачам управления динамическими объектами различной природы.